SOAL & PEMBAHASAN Matematika IPA

Bagian 1

1. Turunan kedua f(x) adalah fⁿ(x) = 6x - 2. Jika grafik y = f(x) melalui titik A(1,6) dan garis singgung y = f(x) di titik A mempunyai gradien 4, maka f(x) = …

   1. x³ - x² + 5x + 1

   2. x³ - x² + 2x + 4

   3. x³ - x² + 4x + 2

   4. x³ - x² + x + 5

   5. x³ - x² + 3x + 3

   Jawaban : e

   

   garis singgung y = f(x) di titik A(1,6) mempunyai gradien 4, berarti f' (1) = 4

   

   Grafik y = f(x) melalui titik A(1,6), berarti f(1) = 6

   

2. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 6. Titik P adalah titik tengah TC. Jika α adalah sudut antara AP dengan bidang ABC, maka sin α = ....

   1. 1/9√3

   2. 1/9√2

   3. 1/6√3

   4. 1/6√2

   5. 1/3√2

   Jawaban : e

    

   Perhatikan gambar berikut.

   

   Perhatikan segitiga ABC

   

   Berdasarkan aturan pada segitiga samasisi AT' = 2/3 AP

   

   Kemudian berdasarkan prinsip kesebangunan PP' = ½TT'
   

   PP' = ½ . 2√6 = √6

   Perhatikan segitiga APP'

   

    

3. 

   1. t < -1 atau t > 2

   2. t < -4 atau t > 2

   3. -2 < t < 4

   4. -4 < t < 4

   5. -4 < t < 2

   Jawaban : e

   

   Sehingga: 

   -4 < t < 2

4. Suku banyak P(x) dibagi (x²– x – 2) mempunyai hasil bagi Q(x) dan sisa (x + 2). Jika Q(x) dibagi (x + 2) mempunyai sisa 3, maka sisa P(x) dibagi (x²+ 3x + 2) adalah….

   1. – 11x – 10

   2. – 10x – 11

   3. 11x – 10

   4. 10x + 10

   5. 11x + 10

   Jawaban : a

   * P(x) = (x²– x – 2) Q(x) + (x + 2) maka

   P(2) = (x²– x – 2) Q(2) + (2 + 2) = 4

   P(– 1) = (x²– x – 2) Q(– 1) + (– 1 + 2) = 1

   **  Q(x) dibagi (x + 2) mempunyai sisa 3 maka Q(–2) = 3

   P(– 2) = ((– 2)²– (– 2) – 2) Q(– 2) + (– 2 + 2) = ((– 2)²– (– 2) – 2) (3) + (0) = 12

   *** P(x) dibagi (x²+ 3x + 2) adalah

           P(x) = (x²+ 3x + 2) R(x) + ax + b

           P(– 2) = (x²+ 3x + 2) R(– 2) + a(– 2) + b = – 2a + b = 12 ...............................................................1)

           P(– 1) = (x²+ 3x + 2) R(– 1) + a(– 1) + b = – a + b = 1 ....................................................................2)

         1)  dan 2) dieliminasi sehingga diperoleh a = – 11 dan b = – 10 maka sisanya adalah  – 11x – 10

5. Diketahui suatu persamaan parabola y = ax²+ bx + c. Jika a, b, dan c berturut-turut merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan aritmatika, serta garis singgung parabola tersebut di titik (1, 15) tegak lurus dengan garis x + 7y = 0, maka nilai (a + 2b + 3c) = ...

   1. 17

   2. 21

   3. 29

   4. 38

   5. 42

   Jawaban : d

   *  Karena kurva melalui titik (1, 15), maka

               (1,15)→y=ax²+bx+c

               15=a+b+c…..(1)

   **  Kurva tegak lurus dengan garis x + 7y = 0 → m₁ = -1/7, maka gradien garis yang tegak lurus m₂=7

               y'=2ax+b

               m₂=f'(1)

               7=2a+b….(2)

   ***  a, b, c membentuk barisan aritmatika berarti a+c=2b…..(3)

   ****  Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (1) didapat :

               2b+b=15

               3b=15

               b=5…..(4)

   *****  Subtitusiikan (4) ke (2) didapat a=1….(5)

              Subtitusikan (5) dan (4) ke (1) didapat 15=1+5+c

               c=9

               a+2b+3c=1+2(5)+3(9)=38

6. Nilai 

   1. – 1

   2. – ½

   3. – ¼

   4. 1

   5. 4

   Jawaban : c

   

7. Misalkan f(1) = 2, f’(1) = –1, g(1) = 0 dan g’(1) = 1. Jika F(x) = f(x) cos (g(x)), maka F’(1) = ...

   1. 2

   2. 1

   3. 0

   4. -1

   5. -2

   Jawaban : d

   F(x) = f(x) cos (g(x))

   F’(1) = ...

   F’(1) = f’(1) cos (g(1) – sin (g(1)) . g’(1) . f(1)

   F’(1) = (–1)(1) – 0 (1)(2) = –1

8. Diberikan sistem persamaan :

   x + y² = y³

   y + x² = x³ 

   Banyaknya pasangan bilangan real (x, y) yang memenuhi sistem di atas adalah ....

   1. 0

   2. 1

   3. 2

   4. 3

   5. tak hingga

   Jawaban : d

   Persamaan x + y² = y³  merupakan persamaan y + x² = x³  yang dicerminkan terhadap garis y = x, sehingga pasangan bilangan real yang memenuhi terletak pada garis  y = x.

   Akibatnya diperoleh:

   x + x² = x³ ⇒ x + x² – x³ = 0

   ⇒ x(1 + x – x²) = 0

   Diperoleh x = 0 merupakan salah satu solusi, dan karena 1 + x – x²  mempunyai determinan 5 maka 1 + x + x² mempunyai 2 solusi berlainan. Jadi totalnya ada 3 buah solusi, sehingga ada 3 pasangan bilangan real yang memenuhi sistem persamaan yang dimaksud.

9. Jika x, y, z masing-masing bilangan bulat yang memenuhi 27x – 28y + 29z = A dan 2x + 2z = 40 + 2y dengan y – 2z < 0 dan 2x > y, maka bilangan asli A yang memenuhi adalah ....

   1. 510 < A < 520

   2. 540 < A < 580

   3. 560 < A < 580

   4. 580 < A < 600

   5. 600 < A < 620

   Jawaban : b

   y – 2z < 0  dan 2x > y

   –y + 2z > 0 dan –2x + y < 0,

   dan karena

   2x + 2z = 40 + 2y 

   maka

   x – y + z = 20

   ⇒ 27x – 27y + 27z = 540 

   ⇒ A = 540 – y + 2z > 540

   29x – 29y + 29z = 580

   ⇒ A = 580 – 2x + y < 580

   Akibatnya  540 < A < 580.

10. Jika suku banyak f(x)+g(x) dibagi x²–2x+1  bersisa 2x–1 dan jika xf(x)+g(x/3) dibagi x²–3x bersisa x+2, maka f(1)+g(1)+g(0) = ....

    1. 0

    2. 1

    3. 2

    4. 3

    5. 4

    Jawaban : d

    Misal h(x) = f(x) + xg(x), maka

    h(1)  = f(1) + 1g(1) 

    = 2(1) – 1 ⇒ f(1) + g(1) = 1

    Misal j(x) = xf(x) + g(x/3),

    maka j(0)  = 0f(0) + g(x/3)

    = 0 + 2 ⇒ g(0) = 2

    Jadi f(1) + g(1) + g(1) + g(0) = 3

Bagian 2

1. Banyak parabola Ax² + Cy = 0 dengan A dan C dua bilangan berbeda yang dipilih dari {0, 1, 4, 16} adalah ….

   1. 10

   2. 8

   3. 6

   4. 4

   5. 3

   Jawaban : c

   Syarat parabola: A ≠ 0 dan C ≠ 0

   maka:

   (3)  (2) = 6

2. Jumlah akar-akar persamaan |x|² - 2|x| - 3 = 0 sama dengan….

   1. -10

   2. -3

   3. -1

   4. 0

   5. 4

   Jawaban : d

   

3. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan  f(x) g(x) = x² - 3x untuk setiap bilangan real x. Jika g(1) = 2, dan f’(1) = f(1) = -1, maka g’(1)….

   1. 2

   2. 1

   3. 0

   4. -1

   5. -3

   Jawaban : d

   

4. Diketahui x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamamaan x² + 5x + a = 0 dengan x₁ dan x₂ kedua-duanya tidak sama dengan nol. x₁, 2x₂, dan -3x₁x₂ masing-masing merupakan suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dari deret geometri dengan rasio positif, maka nilai a sama dengan…..

   1. -6

   2. 2

   3. 6

   4. -6 atau 6

   5. 2 atau 3

   Jawaban : c

   
   
   

5. Luas daerah yang dibatasi oleh y=2 sin x,  x=π/2,  x=3π/2, dan sumbu x sama dengan……

   1. 1 satuan luas

   2. 2 satuan luas

   3. 3 satuan luas

   4. 4 satuan luas

   5. 5 satuan luas

   Jawaban : d

   

6. Satuan limas beraturan T.PQRS dengan  TP = TQ = TR =  TS = √21 cm dan PQRS adalah suatu persegi dengan panjang sisi 6 cm. Besar sudut antarbidang TQR dan bidang alas sama dengan….

   1. 30^o

   2. 45^o

   3. 60^o

   4. 75^o

   5. 90^o

   Jawaban : a

   
   

7. Untuk 0 ≤ x ≤ 12, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah .....

   1. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 9

   2. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 12

   3. 2 ≤ x ≤ 4 atau 8 ≤ x ≤ 10

   4. 1 ≤ x ≤ 3 atau 9 ≤ x ≤ 11

   5. 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12

   Jawaban : e

   

8. Jika x = a, y = b, dan z = c adalah penyelesaian dari sistem persamaan linear: 

   x + y = 3 
   x + z = 4 
   y + z = 5 

   maka nilai a² + b² + c² sama dengan ....

   1. 6

   2. 9

   3. 11

   4. 14

   5. 19

   Jawaban : d

   
   

9. Jika f(2x+4) = x dan g(3-x) = x, maka nilai f(g(1)) + g(f(2)) sama dengan ....

   1. 2

   2. 3

   3. 4

   4. 5

   5. 6

   Jawaban : b

   

10. Diketahui matriks dan .

    Bilangan λ yang memenuhi [A − λΙ] = 0 adalah ....

    1. -1 atau 0

    2. 1 atau 3

    3. -1 atau 2

    4. 2 atau 3

    5. -1 atau 3

    Jawaban : c

    

Bagian 3

1. Turunan kedua f(x) adalah fⁿ(x) = 6x - 2. Jika grafik y = f(x) melalui titik A(1,6) dan garis singgung y = f(x) di titik A mempunyai gradien 4, maka f(x) = …

   1. x³ - x² + 5x + 1

   2. x³ - x² + 2x + 4

   3. x³ - x² + 4x + 2

   4. x³ - x² + x + 5

   5. x³ - x² + 3x + 3

   Jawaban : e

   

   garis singgung y = f(x) di titik A(1,6) mempunyai gradien 4, berarti f' (1) = 4

   

   Grafik y = f(x) melalui titik A(1,6), berarti f(1) = 6

   

2. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 6. Titik P adalah titik tengah TC. Jika α adalah sudut antara AP dengan bidang ABC, maka sin α = ....

   1. 1/9√3

   2. 1/9√2

   3. 1/6√3

   4. 1/6√2

   5. 1/3√2

   Jawaban : e

    

   Perhatikan gambar berikut.

   

   Perhatikan segitiga ABC

   

   Berdasarkan aturan pada segitiga samasisi AT' = 2/3 AP

   

   Kemudian berdasarkan prinsip kesebangunan PP' = ½TT'
   

   PP' = ½ . 2√6 = √6

   Perhatikan segitiga APP'

   

    

3. 

   1. t < -1 atau t > 2

   2. t < -4 atau t > 2

   3. -2 < t < 4

   4. -4 < t < 4

   5. -4 < t < 2

   Jawaban : e

   

   Sehingga: 

   -4 < t < 2

4. Suku banyak P(x) dibagi (x²– x – 2) mempunyai hasil bagi Q(x) dan sisa (x + 2). Jika Q(x) dibagi (x + 2) mempunyai sisa 3, maka sisa P(x) dibagi (x²+ 3x + 2) adalah….

   1. – 11x – 10

   2. – 10x – 11

   3. 11x – 10

   4. 10x + 10

   5. 11x + 10

   Jawaban : a

   * P(x) = (x²– x – 2) Q(x) + (x + 2) maka

   P(2) = (x²– x – 2) Q(2) + (2 + 2) = 4

   P(– 1) = (x²– x – 2) Q(– 1) + (– 1 + 2) = 1

   **  Q(x) dibagi (x + 2) mempunyai sisa 3 maka Q(–2) = 3

   P(– 2) = ((– 2)²– (– 2) – 2) Q(– 2) + (– 2 + 2) = ((– 2)²– (– 2) – 2) (3) + (0) = 12

   *** P(x) dibagi (x²+ 3x + 2) adalah

           P(x) = (x²+ 3x + 2) R(x) + ax + b

           P(– 2) = (x²+ 3x + 2) R(– 2) + a(– 2) + b = – 2a + b = 12 ...............................................................1)

           P(– 1) = (x²+ 3x + 2) R(– 1) + a(– 1) + b = – a + b = 1 ....................................................................2)

         1)  dan 2) dieliminasi sehingga diperoleh a = – 11 dan b = – 10 maka sisanya adalah  – 11x – 10

5. Diketahui suatu persamaan parabola y = ax²+ bx + c. Jika a, b, dan c berturut-turut merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan aritmatika, serta garis singgung parabola tersebut di titik (1, 15) tegak lurus dengan garis x + 7y = 0, maka nilai (a + 2b + 3c) = ...

   1. 17

   2. 21

   3. 29

   4. 38

   5. 42

   Jawaban : d

   *  Karena kurva melalui titik (1, 15), maka

               (1,15)→y=ax²+bx+c

               15=a+b+c…..(1)

   **  Kurva tegak lurus dengan garis x + 7y = 0 → m₁ = -1/7, maka gradien garis yang tegak lurus m₂=7

               y'=2ax+b

               m₂=f'(1)

               7=2a+b….(2)

   ***  a, b, c membentuk barisan aritmatika berarti a+c=2b…..(3)

   ****  Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (1) didapat :

               2b+b=15

               3b=15

               b=5…..(4)

   *****  Subtitusiikan (4) ke (2) didapat a=1….(5)

              Subtitusikan (5) dan (4) ke (1) didapat 15=1+5+c

               c=9

               a+2b+3c=1+2(5)+3(9)=38

6. Nilai 

   1. – 1

   2. – ½

   3. – ¼

   4. 1

   5. 4

   Jawaban : c

   

7. Misalkan f(1) = 2, f’(1) = –1, g(1) = 0 dan g’(1) = 1. Jika F(x) = f(x) cos (g(x)), maka F’(1) = ...

   1. 2

   2. 1

   3. 0

   4. -1

   5. -2

   Jawaban : d

   F(x) = f(x) cos (g(x))

   F’(1) = ...

   F’(1) = f’(1) cos (g(1) – sin (g(1)) . g’(1) . f(1)

   F’(1) = (–1)(1) – 0 (1)(2) = –1

8. Diberikan sistem persamaan :

   x + y² = y³

   y + x² = x³ 

   Banyaknya pasangan bilangan real (x, y) yang memenuhi sistem di atas adalah ....

   1. 0

   2. 1

   3. 2

   4. 3

   5. tak hingga

   Jawaban : d

   Persamaan x + y² = y³  merupakan persamaan y + x² = x³  yang dicerminkan terhadap garis y = x, sehingga pasangan bilangan real yang memenuhi terletak pada garis  y = x.

   Akibatnya diperoleh:

   x + x² = x³ ⇒ x + x² – x³ = 0

   ⇒ x(1 + x – x²) = 0

   Diperoleh x = 0 merupakan salah satu solusi, dan karena 1 + x – x²  mempunyai determinan 5 maka 1 + x + x² mempunyai 2 solusi berlainan. Jadi totalnya ada 3 buah solusi, sehingga ada 3 pasangan bilangan real yang memenuhi sistem persamaan yang dimaksud.

9. Jika x, y, z masing-masing bilangan bulat yang memenuhi 27x – 28y + 29z = A dan 2x + 2z = 40 + 2y dengan y – 2z < 0 dan 2x > y, maka bilangan asli A yang memenuhi adalah ....

   1. 510 < A < 520

   2. 540 < A < 580

   3. 560 < A < 580

   4. 580 < A < 600

   5. 600 < A < 620

   Jawaban : b

   y – 2z < 0  dan 2x > y

   –y + 2z > 0 dan –2x + y < 0,

   dan karena

   2x + 2z = 40 + 2y 

   maka

   x – y + z = 20

   ⇒ 27x – 27y + 27z = 540 

   ⇒ A = 540 – y + 2z > 540

   29x – 29y + 29z = 580

   ⇒ A = 580 – 2x + y < 580

   Akibatnya  540 < A < 580.

10. Jika suku banyak f(x)+g(x) dibagi x²–2x+1  bersisa 2x–1 dan jika xf(x)+g(x/3) dibagi x²–3x bersisa x+2, maka f(1)+g(1)+g(0) = ....

    1. 0

    2. 1

    3. 2

    4. 3

    5. 4

    Jawaban : d

    Misal h(x) = f(x) + xg(x), maka

    h(1)  = f(1) + 1g(1) 

    = 2(1) – 1 ⇒ f(1) + g(1) = 1

    Misal j(x) = xf(x) + g(x/3),

    maka j(0)  = 0f(0) + g(x/3)

    = 0 + 2 ⇒ g(0) = 2

    Jadi f(1) + g(1) + g(1) + g(0) = 3

1 2 3